逆距離荷重補間（IDW）について調べてみた

最近，GISで空間補間関係の作業がやたら多い。
どれも，空から降ってきた仕事たちですが...

これまでは，特に気にもとめずいろいろ使っていたけど，ちょっと気になることがあって，すこし調べてみた。

空間補間の方法は主に以下の4つが使われる

• ボロノイ（voronoi）多角形補間
• 逆距離荷重補間（inverse distance weighted interpolation： IDW）
• 平滑化スプライン
• 各種クリギング

それぞれ，向き不向きがあって，例えばボロノイ多角形はカテゴリ変数に使われる（らしい...）。
IDWは，簡単に利用できる空間補間手法の一つで，かなり広く使われている。
以下の式で求まる。

\[F(r) = \sum_{i=1}^{m}w_{i}z(r_{i}) = \frac{\sum_{i=1}^{m}z(r_{i})/\mid r-r_{i} \mid^{p}}{\sum_{j=1}^{m}1/\mid r-r_{j} \mid^{p}}\]

このとき，$p$は累乗（power）パラメーター，$m$はある地点の値を求める際に使用する最近接点の数である。
$r$はサンプリングされいない地点$r=(x,y)$である。

つまり，この二つのパラメーターをいじれば，補間結果が変わってくるわけである。

GRASSのv.surf.idwでは，デフォルトでそれぞれ $p=2$， $m=12$ である。

式をみたら分かるが，$p$の値を大きくすれば，距離に応じてウェイトが変化（近いところの影響をより受ける）する。
また，$m$を大きくすると，全体がなめらかになり，大きくし過ぎると，細部では情報が失われることになる。GRASSの場合，$m=1$ではボロノイダイアグラムが適用される。

実際の作業では，２つのパラメータをいじってみて，どれが現実に近いか比較する必要がある（見えるデータのみですが...）